TRIGONOMETRI

Pengukuran Sudut dengan ukuran derajat ukuran radian
Sebuah sudut didefenisikan sebagai perputaran suatu titik-titik ke titik tertentu lainnya terhadap pusat putaran.
- Jika garis diputar berlawanan arah jarum jam maka berbentuk sudut positif
- Jika garis diputar searah jarum jam, maka akan terbentuk sudut negative.
Ditulis :
Contoh :
Nyatakan 1,76 radian dalam ukuran derajat.
Jawab :
Perbandingan Trigonometri
Perbandingan trigonometri dalam segitiga siku-siku. Formula dasar perbandingan trigonometri.
Sin
Cos
Contoh :
Diberi Sin , hitung : Cos , tan dan sec
Jawab :
berarti y = 5 r = 13
Pengertian kuadran dalam perbandingan triogometri.
- Kuadran 1 terletak antara 0 dan 90
- Kuadran 2 terletak diantara 90 dan 180
- Kuadran 3 terletak antara 180 dan 270
- Kuadran 4 terletak antara 270 dan 360
Contoh :
Apabila R ( 12, -5) dan sudut ROX = , tentukan sin , cos , dan cot .
Jawab :
Titik R(12, -5) terletak di kuadran IV.
Hal ini = De = -5, Sa = 12
Mi = Sa + De
= 12 + (-5)
= 144 + 25
= 169
Jadi Mi =
Perbandingan trigonometri:
Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut berelasi
Relasi dengan (90 - )
Contoh :
Tentukan nilai yang tertera dengan sin 30 , cos 30 dan tan 30 .
Jawab :
a. Sin 30 = sin(90 - 60 ) = cos 60 =
b. Cos 30 = cos(90 - 60 ) = sin 60 =
c. Tan 30 = tan(90 - 60 ) = cot 160 =
Sudut batas kuadran (?) Fungsi trigonometri
sin ? cos ? tan ? cosec ? sec ? cot ?
0 0 1 0 - 1 -
90 1 0 - 1 - 0
180 0 -1 0 - -1 -
270 -1 0 - -1 - 0
360 0 1 0 - 1 -
Contoh :
Tentukan nilai dari :
Jawab :
Sudut yang lebih dari 360 (A>360 )
Contoh :
Apabila sin = dan < < , carilah nilai .
Jawab :
Sin = = sin
Karena sin = sin( - ), maka = -
Jadi nilai adalah dan = .
Penggunaan Perbandingan Trigonometri
Berdasarkan perbandingan diperoleh hubungan sebagai berikut :
Contoh :
Tentukan nilai Z dari gambar dibawah ini :
Jawab :
Perhatikan segitiga ADC, sudut CAD = 45 , Sa = DA = 3 dan Mi =CA, maka
Perhatikan segitiga ACB, sudut ABC = 45
De = CA = dan Mi = AB = Z, maka
Grafik Fungsi Sinus, Kosinus, dan Tangen
1. Fungsi sinus, kosinus dan tangent merupakan fungsi priodik
2. Interval nilai dari ketiga fungsi trigonometri tersebut adalah:
a. -1 sin x 1, nilai maksimum sin x = 1, nilai dari minimum = -1
b. -1 Cos x 1, nilai maksimum cos x =1, dan nilai minimum = -1
c. - < tan x < , nilai maksimum x = , dan nilai minimum =-
3. Sin (0 + k.360 )= sin 0. cos(0 + k.360 )= cos 0 dan tan (0 + k.180)tan 0, untuk k = 0, 1, 2,….
IDENTITAS TRIGONOMETRI
Pada bahasan sebelumnya membahas perbandingan trigonometri yang akan digunakan :
Contoh :
Buktikan cot x =
Jawab :
Untuk membuktikan identitas, ubah bentuk ruas kanan.
Terbukti ruas kiri sama dengan ruas kanan, jadi :cot x = .
RUMUS-RUMUS SEGITIGA
Aturan Sinus dan Pembuktian.
Untuk sembarang segitiga ABC berlaku :
Aturan kosinus dan pembuktian.
Untuk sembarang segitiga ABC berlaku :
Untuk menghitung besar sudut suatu segitiga jika diketahui panjang ketiga sisinya digunakan aturan kosinus :
Contoh :
Pada segitiga ABC, b = 43,6; c = 29,8 dan , hitunglah a.
Jawab :
=
= 1901 + 888 - 1546 = 1243
a =
Luas Segitiga
Luas segitiga secara umum ditentukan oleh formula luas = x alas x tinggi.
Dalam pasal ini pengertian luas segitiga dikembangkan lagi sehingga berkaitan dengan trigonometri.
Contoh :
Tentukan luas segitiga ABC, apabila diketahui , b = 4, dan c = 15 cm
Jawab :
Luas segitiga ABC = . bc Sin
= . 4 cm . 15 cm.
= 15 cm
Menentukan Luas Segitiga Jika diketahui Dua Sudut dan Satu Sisi
Perhatikan :
b = dan c =
luas Segitiga ABC = . bc Sin
=
=
=
=
Dengan cara yang sama diperoleh :
Luas Segitiga ABC =
=
=
Tentukan Segitiga ABC jika dan a = 8 cm
Jawab :
Luas segitiga ABC =
=
=
Menentukan luas Segi Empat dan Segi banyak beraturan dengan menggunakan Rumus Luas Segitiga.
1. Segi Empat
ABCD adalah Segi Empat Sembarang. P adalah titik potong diagonal AC dan BD. Misalkan
Dengan cara yang sama dapat diperoleh luas Segitiga ABC = . AC. Sin .
Luas ABCD = Luas Segitiga DAC + LUas Segitiga ABC
= .Dp. Ac.Sin + .Bp.Sin
= .Ac.(Dp + Bp) Sin
= . Ac . BD . Sin
Jadi Segi Empat ABCD = . Ac . BD . Sin
Contoh :
Tentukan luas Segi empat ABCD jika panjang diagonal AC = 6 cm, BD = 10 cm dan sudut yang dibentuk oleh diagonal AC dan BD adalah 60
Jawab :
Luas Segi Empat ABCD = . Ac . BD . Sin
= .6.10.
=
Luas Segi Empat ABCD dapat juga ditentukan dengan mencari Luas Segitiga ABC dan Luas Segitiga ADC.
Segi Lima Beraturan
Luas Segi Lima beraturan segitiga BCDE = Sin 72
Jadi : Luas Segi Lima Beraturan adalah :
Segitiga BCDE =
Segi Enam beraturan
Luas Segi Enam beraturan ABCDEF = . .Sin 60 = 3 .Sin 60
Atau Luas Segitiga ABC =
=
=
Jadi Luas segi Lima Beraturan ABCDEF adalah :
Segi Enam Beraturan
Untuk menentukan Rumus Luas Segi –n beraturan adalah :
Luas segi –n beraturan
Segi –n beraturan.
Luas Segi 5 beraturan = Sin
Luas Segi 6 beraturan = Sin
Kedua rumus tersebut dapat memberi gambaran untuk rumus luas segi –n beraturan sebagai berikut :
Luas Segi –n Beraturan = Sin kemudian perhatikan lagi rumus Luas Segi 5 dan 6 beraturan
Luas segi 5 beraturan =
Luas Segi 6 beraturan =
Dari kedua Rumus dapat disimpulkan bahwa :
Luas Segi –n beraturan =
Contoh :
a. Hitunglah Luas Segi Lima beraturan yang panjang siswinya sama dengan 12 cm
b. Hitunglah Luas Segi 7 beraturan yang titik-titik sudutnya terletak pada lingkaran berjari-jari 10 cm.
Jawab :
a. Luas Segi Lima beraturan itu
b. Luas Segi Tujuh beraturan itu
= 350 .Sin 51,43
= 350 . 0,78
= 273 cm
Soal dan Pembahasan
1.
Pembahasan :
2. Berapa nilai dari cos 12000
Pembahasan :
3. Diketahui tan x = 2, 4, dengan x dalam selang 1800 , maka cos x =
Pembahasan :
= tan x = 2, 4 ?
= x dalam selang 1800 ? x ? 2700 ? kuadran III
= sisi miring =
= karena x berada di kuadran ke III, maka cos x berharga negative dengan demikian cos x =
4. Jika 1, 00 < x < 900, maka sudut x adalah
Pembahasan :
= identitas trigonometri
5. Nilai dari adalah
Pembahasan :
6. Koordinat cartesius dari titik P (8, 60%) adalah
Pembahasan :
= P (8, 600), berarti r = 8 dan <0 = 600
X = r . cos <0
= 8 . cos 600
= 8 .
= 4
Y = r . sin <0
= 8 sin 600
= 8.
= 4
7. Dalam segi tiga ABC diketahui b = 8 cm, c = 5 cm dan sudut A = 600, berapa panjang sisi a = ??
Pembahasan:
Dengan menggunakan aturan cosines
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
a2 = 82 + 52 – 2.(8).(5) cos 600
a2 = 64 + 25 – 80 (
a2 = 49
a =
a = ± 7
8. Suatu segi tiga dengan panjang sisi-sisinya 2, 3 dan 4 satuan. Luas segitiga itu adalah…. Setuan luas
Pembahasan :
Misal = a = 2
b = 3
c = 4, maka
? (a + b + c)
? ( 2 + 3 + 4)
?
9. Jika A + B + C = 360, maka , sama dengan
Pembahsan :
= A + B + C = 360
? B + C = 360 – A
10. Sin 3 p + sin p =
Pembahasan:
Sin 3p + sin P = 2 sin (3p + p) cos (3 P –P)
= 2 sin 2P cos P
= 2 ( 2 sin P cos P) cos P
= 4 sin P cos2 P
•